La Rubrica Musicologica
N° 9 - 21/2/2005		  
 
 
 


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Rubrica musicologica
 
 

Trattati
Le Istitutioni Harmoniche di Gioseffo Zarlino (1558)

(5)

Divisione di proporzioni

Arriviamo all'operazione più complessa, ma anche la più utile.
Dividere una proporzione di maggiore inequalità x:y significa trovare tre numeri m, d ed n, tali che:
1. m:n = x:y
2. m<d<n
ottenendo così le due nuove proporzioni:

m:d e d:n

che rappresentano il risultato della divisione della proporzione di partenza x:y. Ripeto: il risultato della divisione di una proporzione è costituito da due nuove proporzioni.

A seconda dei rapporti che si instaurano fra i tre numeri m, d ed n si parla di tipi differenti di divisione, a ciascuno dei quali corrisponde naturalmente un algoritmo di calcolo differente.
La teoria matematica dell'epoca di Zarlino prende in considerazione due tipologie di rapporti fra m, n e d:

  • le differenze m-d e d-n
  • la circostanza che m:d e d:n (ridotte ai minimi termini) siano uguali o ineguali fra loro

Ciò porta a tre tipi di divisione:

NOME DIVISIONE DIFFERENZE m-d, d-n UGUAGLIANZA m:d, d:n
aritmetica uguali ineguali
geometrica ineguali uguali
armonica ineguali ineguali

Inoltre, per la sola divisione armonica deve anche valere la condizione:

m:n = (m-d):(d-n)

cioè la proporzione delle differenze deve essere uguale alla proporzione maggiore.

 

Ecco gli algoritmi di calcolo per ciascuna delle tre divisioni:

 

NOME DIVISIONE PROCEDURA DI CALCOLO ESEMPI
aritmetica

d = (2x+2y)/2
m = 2x
n = 2y

le nuove proporzioni che risultano sono:

m:d e d:n

proporzione 3:2; x = 3 e y = 2

termine medio d:
[(3×2)+(2×2)]/2 = 5

nuove proporzioni:
6:5 e 5:4

proporzione 2:1; x = 2 e y = 1

termine medio d:
[(2×2)+(1×2)]/2 = 3

nuove proporzioni:
4:3 e 3:2
geometrica

d = radice quadrata di x×y

le nuove proporzioni che risultano sono:

x:d e d:y

proporzione 4:1; x = 4 e y = 1

termine medio d:
radice quadrata di 4 = 2

nuove proporzioni:
4:2 e 2:1

proporzione 9:1; x = 9 e y = 1

termine medio d:
radice quadrata di 9 = 3

nuove proporzioni:
9:3 e 3:1
armonica

Anzitutto si calcola il termine d1 attraverso una divisione aritmetica (v. sopra);

termini estremi m ed n sono:

2x×d1 e 2y×d1

termine medio d è:

2x×2y

proporzione 3:2; x = 3 e y = 2

termine d1 = 5 (v. sopra)

termini estremi m ed n:
2×3×5 = 30 e 2×2×5 = 20

termine medio d:
2×3×2×2 = 24

nuove proporzioni:
30: 24 e 24:20

(che, ridotte ai minimi termini, sono equivalenti a 5:4 e 6:5)

 

Utilizzando i risultati delle divisioni aritmetica, geometrica ed armonica, si può suddividere una corda sonora.

Restiamo nell'ultimo esempio della tabella, relativo ad una divisione armonica.
Se una corda di lunghezza totale 30 dà, poniamo, un Do, il tratto di lunghezza 20 darà il Sol superiore; il tratto lungo 24 darà invece il Mi naturale. Nell'esempio, dunque, la quinta Do-Sol è divisa dalla terza maggiore Do-Mi, più la terza minore superiore Mi-Sol.

Nella divisione aritmetica, invece, un'analoga quinta Do-Sol 30:20 (cioè 3:2) è divisa dalla terza minore Do-Mibemolle e dalla successiva terza maggiore Mibemolle-Sol.

Si capisce dunque che le due proporzioni che costituiscono il risultato della divisione della proporzione di partenza rappresentano due cose diverse. La prima consente di trovare una nota superiore rispetto alla nota più grave, situata fra questa e la nota più acuta (la nota più grave è rappresentata dal numero più grande, quella più acuta dal numero più piccolo). La seconda rappresenta invece l'intervallo residuo fra questa nota intermedia e la nota più acuta.

Si vede anche che la divisione armonica fornisce un risultato "invertito" rispetto alla divisione aritmetica, avendo i medesimi intervalli, ma scambiati di posto fra loro, con l'intervallo maggiore al grave anziché all'acuto (non prendiamo in considerazione la divisione geometrica, che Z. riporta solo per completezza e che ha un significato puramente geometrico e non musicale).

Z. ritiene la divisione armonica dotata di maggior significato musicale rispetto alle altre due ed il perché può forse essere compreso proprio pensando a quest'ultima considerazione. Secondo Z., infatti, "la natura dell'harmonia [...] è, di avere i suoni gravi, di maggior intervallo de gli acuti, & questi per il contrario di minore".

© Gian Paolo Fagotto, 2002.

[Continua nel prossimo numero]

 
 
 
 
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