Operazioni con le proporzioni

[Cominciamo l'importante argomento delle operazioni con le proporzioni. Ma anzitutto, chiediamoci a cosa queste serviranno. Bene, ognuna delle operazioni che vedremo in questa puntata ha un suo riferimento preciso nella costruzione del monocordo e serve a questo scopo. Zarlino parla del monocordo nella seconda parte, al capitolo 18, ma noi qui dobbiamo anticipare l'argomento, se vogliamo capir bene di cosa stiamo parlando.
Il lettore moderno si domanderà perché dovremmo avere interesse per questo buffo strumento. La risposta è che il monocordo, in questo contesto, non appare affatto come uno strumento, ma come un vero e proprio accordatore, anche se non elettronico ma meramente acustico.
Dato infatti il problema di accordare strumenti, specialmente a tastiera, in modo omogeneo e riproducibile, cioè facendo esattamente lo stesso tipo di accordatura, anche nel caso in cui lo strumento in questione non sia spostabile (si pensi a organi), la soluzione consiste nel costruire una tastiera suddivisa, i cui "tasti" ovvero scannelli riproducano esattamente le note della scala musicale completa nel temperamento voluto (in realtà, Zarlino propone uno scannello mobile, che poteva essere spostato su una scala graduata in cui erano segnate le posizioni delle singole note). La corda (o le corde: i cosiddetti monocordi potevano averne più d'una) poteva esser posta all'unisono con la nota base più grave dell'ottava da accordare; le note superiori risultavano allora da una pressione del dito in corrispondenza delle divisioni della tastiera del monocordo e potevano essere usate per accordare, sempre all'unisono, le altre note dello strumento.
Il vantaggio rispetto, ad esempio, ad un diapason, sta nel fatto che la nota di base e quindi l'altezza di tutte le altre note della scala è regolabile in modo molto preciso. In altre parole, il monocordo serve non per esportare un La di particolare altezza, ma per esportare l'intera scala in un particolare temperamento, qualunque sia l'altezza assoluta della nota di partenza.
Ora, è chiaro che la posizione matematicamente precisa degli scannelli assicura la precisione della scala. Quest'ultima, anziché a orecchio, veniva costruita misurando con esattezza le lunghezze di diverse porzioni di corda ed effettuando su quelle misure determinate operazioni, che sono proprio quelle che ora vedremo. Queste operazioni costituiscono l'abicì del lavoro col monocordo, cioè della teoria e della pratica dell'accordatura scientifica.]

La somma di proporzioni

Se partendo da un suono e movendomi verso l'acuto produco ad esempio prima una quinta, poi una quarta, poi una terza maggiore, poi una minore, a quale intervallo mi trovo dal suono di partenza? L'operazione che fornisce la risposta è chiamata da Zarlino somma di proporzioni. Il metodo proposto dalle Istitutioni è riconducibile a ciò che in linguaggio matematico moderno chiameremmo prodotto di frazioni. Gli intervalli citati nell'esempio devono anzitutto essere espressi dalle loro proporzioni 3:2, 4:3, 5:4 e 6:5. Di queste ultime, trasformate in frazioni si fa un normale prodotto matematico:

3/2 x 4/3 x 5/4 x 6/5 = 3/1

dunque la risposta è la proporzione 3:1 (diapasondiapente ovvero decimaseconda)
Nell'esempio, usando il metodo di Zarlino, si ottiene 360:120. Questa proporzione, ridotta ai minimi termini, equivale a 3:1, come previsto.

La sottrazione di proporzioni

La sottrazione di proporzioni zarliniana permette di sapere di quanto un dato intervallo superi un altro; il risultato è una proporzione che sommata (nel senso del paragrafo precedente) a quella che esprime il secondo intervallo dà il primo. Ad esempio la quinta 3:2 supera la quarta 4:3 per un tono maggiore 9:8. Anche qui forniamo l'equivalente matematico moderno, la divisione di frazioni:

3/2 : 4/3 = 9/8

L'operazione inversa della sottrazione di proporzioni è naturalmente la somma di proporzioni, che pertanto può essere usata come prova per verificare la correttezza del calcolo.
In senso moderno: la prova della divisione è il prodotto del divisore per il risultato; infatti 4/3 × 9/8 dà appunto 3/2 come c'era da aspettarsi.

La moltiplicazione di proporzioni

La moltiplicazione di n proporzioni, nel linguaggio di Zarlino, corrisponde a stabilire una serie decrescente di n+1 numeri tali che ognuno, col numero seguente, formi un intervallo equivalente alla proporzione n-esima.
Ad esempio: 3:2, 4:3, 5:4, 6:5 sono quattro proporzioni espresse nella loro forma di base (cioè ridotta ai minimi termini) che corrispondono rispettivamente ad una quinta, una quarta, una terza maggiore ed una minore. Moltiplicare fra loro queste proporzioni significa trovare una serie decrescente di 5 numeri a, b, c, d, e, tali che le proporzioni a:b, b:c, c:d, d:e risultino equivalenti a quelle date.
Che significa? Il numero a rappresenta la lunghezza totale della corda, mentre i numeri b, c, d, e rappresentano i punti successivi nei quali la corda produce note in successione, ad intervalli uguali a quelli dati, ovvero: nel punto che dista b dall'origine si produce una quinta rispetto al suono della corda di lunghezza totale a; nel punto che dista c, si produce una quarta rispetto al suono prodotto in b; nel punto d si produce una terza maggiore rispetto alla nota prodotta in c e così via.
L'utilità di questa procedura risulta chiara se si pensa alla sua applicazione pratica alla suddivisione multipla della corda in un monocordo.
Ad esempio, per avere la successione di 4 note do-re-mi-fa, è sufficiente moltiplicare fra loro le proporzioni 9:8 (tono maggiore do-re), 10:9 (tono minore re-mi), 16:15 (semitono maggiore mi-fa). Si ottengono i numeri 180, 160, 144, 135.
Ciò significa che, in una corda di lunghezza totale 180, accordata in modo da suonare do, la posizione del re si ottiene alla lunghezza 160, quella del mi alla lunghezza 144 e quella del fa alla lunghezza 135.
Per la moltiplicazione di proporzioni, Z. fornisce due diverse e complesse procedure di calcolo che danno numeri che non sono nei minimi termini. [Z. fornisce in seguito la procedura per i minimi termini]. Per non complicare troppo le cose ( e rimandando al lettore alla futura versione stampata del mio studio sulle Istitutioni Harmoniche) consiglio la seguente procedura ricorsiva:
1. moltiplicare fra di loro tutti i membri di tutte le proporzioni (i numeri che eventualmente compaiano più di una volta vanno considerati una volta sola); il numero ottenuto esprime la lunghezza totale della corda ed è il primo elemento della serie;
2. per ottenere l'elemento n+1-esimo della serie, dividere l'elemento n-esimo per il primo membro della proporzione n-esima e moltiplicarlo per il secondo membro della medesima proporzione;
3. infine ridurre tutti gli elementi della serie ai minimi termini.

La divisione di proporzioni è un caso di particolare complessità, e lo vedremo perciò alla prossima puntata.

© Gian Paolo Fagotto, 2002.