I cinque generi delle proporzioni aritmetiche

Preparati a godere, lettore coraggioso! Entriamo nel sancta sanctorum del matematico-musicista rinascimentale e vi troviamo le definizioni di Zarlino dei cinque generi delle proporzioni. Il mio consiglio è di far tesoro delle mie esplicitazioni moderne e soprattutto di far pratica esercitandoti con la nomenclatura, cosicché, quando leggerai il libro e ti imbatterai in frasi del tipo "l'intervallo di un minor semituono, contenuto nella proportione super 13.partiente 243, chiamato dai Greci apotomè", saprai subito che la super 13.partiente 243 non è null'altro che la 256:243. Ma se non vuoi far pratica, poco male: ti sarà sufficiente aver sott'occhio la tabella che segue, per capire al volo tutto quanto.

Se poi in futuro vorrai approfondire quest'argomento e collegarlo ad altri argomenti e questioni matematiche, musicali, artistiche, architettoniche ecc. dibattute all'epoca di Zarlino, ho in serbo per te ulteriori ed eccitanti segreti nella versione stampata dei miei studi sulle Istitutioni Hamoniche, che pubblicherò non appena ne avrò terminata la redazione.

Le proporzioni, secondo la teoria antica che Zarlino fa propria, sono tutte classificabili all'interno dei seguenti 5 generi (tutte le variabili indicano interi positivi):

GENERE	FORMA GENERALE DEL NOME	FORMA MATEMATICA DELLA PROPORZIONE	ESEMPI
1° - molteplice	k-upla	k : 1	dupla (2:1) tripla (3:1)
2° - superparticolare	sesqui-na (sempre n>1)	(n+1) : n	sesquiterza (4:3) sesquiquarta (5:4) sesquialtera (3:2)
3° - superpartiente	super-m-partiente-na (sempre n>m>1)	(n+m) : n	superbipartienteterza (5:3) supertripartientequinta (8:5) supertripartienteottava (11:8)
4° - molteplice superparticolare	k-upla sesqui-na (sempre k>1 e n>1)	(kn+1) : n	dupla sesquialtera (5:2) tripla sesquiquarta (13:4)
5° - molteplice superpartiente	k-upla super-m-partiente-na (sempre k>1 e n>m>1)	(kn+m) : n	tripla superbipartienteterza (11:3) quadrupla supertripartientequinta (23:5)

È da notare che tutte queste proporzioni hanno il primo termine maggiore del secondo (proporzioni di maggiore inequalità). Nel caso inverso, caratteristiche e denominazioni restano le medesime, ma al nome si aggiunge il prefisso sub-: ad esempio la dupla 2:1 diventa la subdupla 1:2. È anche da osservare che le denominazioni sopra esposte si applicano come sempre a proporzioni considerate nei loro minimi termini. Ad esempio, 8:6 è sempre una sesquiterza, perché corrisponde a 4:3.

[Nota. Sono certo che il lettore si chiederà il motivo di questa terminologia così apparentemente astrusa. Per dare una prima risposta alla domanda, è necessario definire ciò che Z. chiama "denominatore" o "quoziente" di una proporzione. Attenzione a non confondere l'espressione "denominatore" in questo senso antico col significato moderno della parola.]

Denominatore o quoziente di una proporzione

Il "denominatore" o quoziente di una proporzione è il risultato della divisione del termine maggiore per il minore. Zarlino riporta la definizione secondo Euclide: "quel numero, secondo il quale si piglia la parte nel suo tutto".

All'epoca di Zarlino, il risultato della divisione non poteva però essere espresso in un modo qualunque. Il "denominatore" si diceva semplice se corrispondeva ad un intero (il che ovviamente accade solo in pochi casi, quando il termine minore è un divisore del maggiore). Quando il "denominatore" non era intero, si diceva composto e si esprimeva sempre sotto forma di intero più una frazione che rappresentava il resto:

k + m/n
(con k, m ed n interi non negativi)

Ad es. la dupla-super-bipartiente-terza 8:3 ha "denominatore" composto pari a 2+2/3, che significa: "il 3 nell'8 sta 2 volte più due terzi di sé stesso". In termini matematici moderni la cosa si controlla banalissimamente, verificando che la somma 2+2/3 dà come risultato la frazione 8/3.

[Continuazione della nota precedente. I nomi "antichi" delle proporzioni esprimono dunque in forma linguistica e non simbolica questo modo di rappresentare il quoziente della proporzione, chiamato anche "denominatore" proprio perché serve a denominare la proporzione medesima.

Nel genere molteplice, la frazione m/n è uguale a zero sicché il "denominatore" si riduce a k ed è dunque sempre un intero, ad es. per la dupla 2:1 è 2, per la tripla 3:1 è 3 e così via.

Nei generi superparticolare e superpartiente, k è sempre uguale a 1, dunque è inutile usarlo per l'espressione della frazione, il cui nome dipende allora dalla sola espressione frazionaria del resto m/n. Nel genere superparticolare, inoltre, anche m è sempre uguale a 1. Ad es. la sesqui-quarta (5:4) ha quoziente pari a 1+1/4; la super-tripartiente-quarta (7:4) ha "denominatore" o quoziente pari a 1+3/4.

Nei generi molteplice superparticolare e molteplice superpartiente, invece, k è maggiore di 1 ed appare nel nome al primo posto. Ad esempio, il nome della tripla sesqui-quarta (13:4), che ha come quoziente 3+1/4, contiene al primo posto l'intero 3 e poi i due termini della frazione m/n nel modo già visto per il genere superparticolare; invece il nome della dupla super-tripartiente-quarta (11:4), che ha "denominatore" pari a 2+3/4, contiene al primo posto l'intero 2 e poi i due termini della frazione m/n nel modo già visto per il genere superpartiente.

La seguente tabella mostra come costruire il "denominatore"o quoziente a partire dal nome della proporzione:

GENERE	FORMA GENERALE DEL NOME	COSTRUZIONE DEL QUOZIENTE
molteplice	k-upla	k
superparticolare	sesqui-na	1 + 1/n
superpartiente	super-m-partiente-na	1 + m/n
molteplice superparticolare	k-upla sesqui-na	k + 1/n
molteplice superpartiente	k-upla super-m-partiente-na	k + m/n

Risulta dunque evidente che le denominazioni antiche rappresentano una forma di cristallizzazione linguistica del "quoziente" o "denominatore" di ciascuna proporzione.

Ma perché adottare per il quoziente una forma di analisi e denominazione così apparentemente complicata?
La risposta sta evidentemente nell'uso al quale le proporzioni sono destinate. Non posso dilungarmi troppo in questa sede e dunque rimando il lettore che volesse approfondire l'argomento alla versione stampata delle mie riflessioni sulle Istitutioni. Si tratta di un uso legato alla misura ed alla ripartizione di corde e, più in generale, di distanze, connesso (come tutto lo sviluppo iniziale della geometria antica greca e pre-greca) all'uso della geometria a fini di agrimensura, di architettura ecc.

Il quoziente così espresso consente di vedere alla prima occhiata il rapporto fra due corde: se una delle due è un multiplo dell'altra (genere molteplice), se è un multiplo più un piccolo resto (molteplice superparticolare), se è un multiplo più un resto "grande" (molteplice superpartiente), se è praticamente uguale all'altra corda a parte un piccolo resto (superparticolare) o un resto grande (superpartiente). Tutto ciò può essere utile a chi debba porre rapporti tra corde. Prendiamo ad esempio il rapporto 8:3; se io lo chiamo "dupla super-bi-partiente terza" (quoziente 2 + 2/3), so subito che prima devo raddoppiare la corda di partenza e poi aggiungere ancora una parte pari a due terzi della corda di partenza.

Ci sono poi altre considerazioni, legate alle modalità ed alla precisione della divisione di una corda, molto interessanti, ma che non è il caso di riportare in questa sede.

Al lettore non matematico, infine, deve essere comunque ricordato che questa modalità di espressione del quoziente non è poi così lontana da quella con la virgola cui siamo abituati noi moderni. Se consideriamo, ad esempio, il quoziente di 5:2, esso può essere espresso con il numero 2,5 oltre che con l'espressione 2 + 1/2 e naturalmente con la frazione 5/2 (in termini matematici queste tre espressioni sono tutte egualmente legittime e tutte equivalenti: la preferenza all'una o all'altra va data sulla base dell'uso pratico che si intende fare dell'espressione). La rappresentazione di un numero con la virgola è però in generale una variante "mascherata" della rappresentazione antica. Ad es. il numero 3,487 significa 3 + 4/10 + 8/100 + 7/1.000. L'espressione 2,5 cioè 2 + 5/10, semplificando la frazione, è dunque matematicamente identica a 2 + 1/2. Nel caso di numeri periodici, poi, l'uso delle espressioni antiche può essere addirittura più pratico del sistema con la virgola. Ad esempio 2 + 2/3 in certi contesti è sicuramente più maneggevole di 2,666..., espressione che corrisponde a 2 + 6/10 + 6/100 + 6/1.000 + ... .
Niente di astruso e strano, dunque, anche se le espressioni linguistiche antiche usate per le proporzioni appaiono al lettore moderno certamente inconsuete.]

[Altra nota. Qualche lettore continuerà a chiedersi cosa importi tutto ciò al musicista. Pazienza...! Sarà tutto chiaro fra non molto, quando si vedrà che queste cose sono utili per capire le molte e dotte considerazioni di Zarlino intorno al problema della costruzione dell'ottava e dell'accordatura degli strumenti, un tema di grandissima importanza anche pratica che libererà la mente e scatenerà la fantasia di chi non intende limitarsi all'accordatore elettronico.

A partire dalla prossima volta, finalmente arriviamo a vedere le operazioni con gli intervalli: come si sommano, si sottraggono, si moltiplicano e, soprattutto, si dividono. E tutto questo serve per impostare esattamente le scale musicali (gli antichi lo facevano suddividendo il monocordo) e quindi le accordature: non a orecchio, ma in forma matematica precisa.]

© Gian Paolo Fagotto, 2002.