Intervalli e proporzioni

Nella puntata precedente abbiamo indicato le proporzioni che esprimono i più comuni intervalli consonanti. Il significato dell'abbinamento fra intervalli e proporzioni è molto semplice, e lo è particolarmente se riferito al modello che gli antichi avevano più presente: quello del monocordo o in generale degli strumenti a corde. Ad esempio, la proporzione 2:1 esprime la diapason (od ottava che dir si voglia) nel senso che una corda di lunghezza unitaria, rispetto ad un'altra corda di uguali caratteristiche e tensione ma di lunghezza doppia, dà un suono che è esattamente l'ottava sopra; la proporzione 3:2 esprime la quinta nel senso che una corda lunga ad es. 20 cm suona una quinta sopra rispetto ad una corda di uguali caratteristiche e tensione ma lunga 30 cm, e così via. È inutile precisare che proporzioni non ridotte ai minimi termini sono assolutamente equivalenti alla loro forma ridotta: la proporzione 6:4 è equivalente alla proporzione 3:2 ed esprime identicamente la diapente ovvero quinta.

Un metodo pratico per il calcolo degli intervalli

Prima di studiare bene le proprietà delle proporzioni e delle operazioni fra proporzioni, riportiamo la ruota dei numeri sonori, una curiosità dai risvolti pratici che merita una citazione. La ruota di Zarlino è costruita ponendo in successione i numeri dall'1 al 6 più tutti i numeri che sono prodotti di due soli numeri compresi tra l'1 ed il 6. Ad esempio ci sono il 12 (3x4) ed il 16 (4x4), ma non il 26 (2x13) e neppure il 32 (4x4x2). Il numero più piccolo è naturalmente 1, mentre il più grande è naturalmente 36 (6x6).

L'utilità pratica della figura sta nel fatto che essa, oltre ad indicare le proporzioni esatte di tutti gli intervalli consonanti e dissonanti principali, consente di sommare intervalli posti su caselle adiacenti. Per avere la proporzione corrispondente ad un intervallo, si considerano i numeri posti all'estremità della casella dove sta scritto il nome dell'intervallo, procedendo in senso orario; se la proporzione è riducibile, va ridotta ai minimi termini. Ad esempio, per il ditono (terza maggiore) si trova la proporzione 5:4, ma anche 15:12, che, ridotta ai minimi termini, è la stessa cosa. Per sommare due o più intervalli posti su caselle adiacenti, si considerano il primo numero della prima casella e l'ultimo dell'ultima, sempre procedendo in senso orario. Ad esempio: sommando il semiditono al tono minore si ottiene 12:9, che ridotto dà 4:3 (quarta); continuando a sommare il tono maggiore successivo, si ottiene 12:8, che ridotto dà 3:2 (quinta) e così via, il che concorda con la realtà, dato che la terza minore più un tono (minore) dà una quarta, che sommata ad un tono (maggiore) dà per l'appunto una quinta..
Utilissima per matematici pigri, per intervalli strani o grandi, e per non sbagliare mai con i due toni e semitoni (maggiori e minori), questa ruota consente in pratica di avere sottomano un prontuario veloce per conoscere la descrizione matematica degli intervalli secondo la teoria tradizionalmente attribuita a Pitagora. Ad esempio: non ricordate più se la terza minore (semiditono) si fa sommando al semitono maggiore un tono maggiore oppure un tono minore? Cercateli nelle due caselle adiacenti, e troverete, posti fra i numeri 18, 16 e 15, il tono maggiore ed il semitono maggiore. La proporzione che ottenete è 18:15, cioè 6:5 che è la proporzione della terza minore, il che vi conferma che siete nel giusto.

Intervalli semplici e composti

È una distinzione che è bene conoscere. Gli intervalli semplici risultano da una proporzione fra numeri consecutivi (ad esempio 4 e 3 oppure 3 e 2), i composti no (ad es. 5 e 3). Ne consegue che gli intervalli composti, non risultando da numeri consecutivi, ammettono fra i due termini un termine medio. Con quest'ultimo, si creano così due nuove proporzioni che descrivono i due intervalli i quali, uniti insieme, generano l'intervallo di partenza. Un esempio:

sesta maggiore 5:3

ammette il termine medio 4, che genera le due proporzioni

5:4 e 4:3

ed infatti la sesta maggiore si ottiene sommando una terza maggiore (5:4) ed una quarta (4:3).
È ovvio che si può fare anche l'inverso, come abbiamo visto nella descrizione della ruota.
È bene avvertire che il concetto di semplice e composto va inteso solo nella sua forma matematica. Ad esempio, la quinta potrebbe sembrare intervallo composto, perché formato da una terza maggiore più una terza minore. Così però non è, dato che la proporzione che esprime la quinta (3:2) è una proporzione semplice, come quelle che esprimono le terze (5:4 e 6:5). La quinta, al pari delle due terze, è dunque intervallo semplice.

Fin qui, generalità e metodi pratici: ma il bello viene a partire dalla prossima puntata, in cui cominceremo a vedere in dettaglio la teoria zarliniana della proporzioni.

 

© Gian Paolo Fagotto, 2002.