Introduzione

Fra i vari trattati apparsi fra il tardo Medioevo ed il Rinascimento, le Istitutioni Harmoniche di Gioseffo Zarlino occupano un posto di particolare rilievo, a causa del credito di cui godette il loro autore, al quale la vastissima erudizione e la padronanza del greco (usato in numerose citazioni nel corso del libro) conferivano un'aura di auctoritas indiscutibile (anche se non sempre indiscussa, ad esempio a proposito della teoria dei 12 modi). Il trattato si conquistò presto "il ruolo di summa del sapere musicale cinquecentesco" (P. Da Col), fu tradotto all'estero in più di una lingua straniera e citato ancora fino al Settecento. La statura scientifica del suo autore conferisce all'opera un respiro che spazia ben aldilà delle pure e semplici questioni pratiche relative alla musica intesa come arte di chi suona, canta o compone: in effetti per Zarlino la musica, prima che arte, è scienza, scienza "subalternata" alla matematica ed alla geometria (cap. 20), delle quali condivide la certezza dei procedimenti dimostrativi e financo gli oggetti, cioè i numeri e le quantità misurabili. Ma questa tesi - che egli eredita dal medioevo ed i cui elementi provengono dall'antichità classica - non è per Zarlino, come accade invece a molti altri trattatisti, solo un'enunciazione giustificata dal desiderio di mostrar di conoscere il tradizionale inquadramento della musica nel Quadrivio, ma un programma di lavoro che trova nel trattato la più ampia sostanza. Non è dunque per niente sorprendente che il volume figuri citato con la più alta considerazione in opere di matematici coevi e il suo autore in opere biografiche sui matematici.

Le Istitutioni, in verità, sono anche un'opera assolutamente tecnica, ma non nel senso che ci aspetteremmo noi moderni, abituati a trattati musicali in cui ad una brevissima introduzione "filosofica" seguono poi lunghi capitoli destinati alle questioni che veramente interessano il musicista in senso stretto (teoria musicale, armonia, contrappunto ecc.): il libro è tecnico nel senso che anche tutta una serie di nozioni puramente matematico-geometriche che a noi apparirebbero tutt'al più come dei prerequisiti vengono affrontate e dibattute in modo approfondito. Ed ecco allora che nelle Istitutioni quella che sembrerebbe materia da introduzione occupa invece due delle quattro parti in cui l'opera è divisa e ben 146 delle 347 pagine che esso contiene nell'edizione del 1561. Ciò non deve sorprendere. All'epoca una serie di nozioni matematico-geometriche che noi apprendiamo nella scuola dell'obbligo o al massimo nei primi anni di liceo erano appannaggio di pochi dotti e non formavano un patrimonio culturale condiviso da tutti. La stessa scienza matematica era allora in piena fase di formazione. Basti pensare, per fare un esempio solo ma illuminante, che la formula per la soluzione delle equazioni di terzo grado fu pubblicata da Girolamo Cardano (Ars Magna) solo qualche anno prima dell'uscita delle Istitutioni. Questa situazione rende a noi moderni spesso oscure le terminologie adottate e poco pratici gli algoritmi, sì che ci può capitare di restare impantanati in un passo che coinvolge nozioni matematiche per noi oggi del tutto elementari, soltanto perché non siamo abituati alla terminologia ed alle procedure di calcolo proprie dell'epoca.

Di fronte ad un'opera del genere è naturalmente possibile una pluralità di approcci. Dati gli interessi eminentemente pratici di questa Rubrica, è chiaro però che questioni di natura squisitamente culturale (nel senso di storia della cultura, di studio dei rapporti fra le sue diverse componenti e così via), pur immensamente interessanti, dovranno cedere il passo a questioni di altra natura, e particolarmente alle esigenze di conoscenza approfondita delle tecniche e delle modalità esecutive della musica del passato. E allora: dovremmo forse saltare le prime due parti e prendere in considerazione solo le pagine da 147 in poi? Nulla di più sbagliato: la comprensione, anche solo terminologica, delle ultime due parti presuppone infatti una conoscenza assolutamente approfondita delle prime due (senza contare, poi, che la seconda contiene una teoria estremamente approfondita della scala musicale e dei suoi temperamenti). No, per quanto faticoso possa essere, è necessario leggere tutto: nella prospettiva musicale rinascimentale, e particolarmente in quella di Zarlino, infatti, tutto quanto è detto nelle prime due parti è elemento integrante della musica e va studiato, pena l'impossibilità di capire a fondo il tutto, di cogliere i riferimenti e di padroneggiare la terminologia.

Ecco dunque come faremo. Tutte i passi squisitamente storico-filosofici (la cui analisi ed il cui commento, per la verità, si possono tranquillamente reperire in opere moderne sull'argomento, in saggi, in articoli di vario genere: si vedano ad esempio i due saggi di Fenlon e di Da Col nelle prime pagine dell'edizione anastatica Forni) li salteremo con dolore - a meno che non siano necessari per la comprensione di qualche questione ben precisa - e ci limiteremo in alcuni casi ad indicarne i principali argomenti. Ci concentreremo invece senza pietà su tutto quanto appaia tecnico in senso lato, fossero anche terminologie aritmetiche disusate o algoritmi di calcolo astrusi o considerazioni sul comma sintonico o la teoria antica delle proporzioni matematiche.

Se dunque il tuo scopo, o lettore, è quello di avere un'idea generale dell'opera e del suo significato culturale, questa rubrica non fa per te: il nostro scopo è quello di cercare di ragionare come gli antichi, impadronendoci del loro linguaggio e delle loro metodiche. Solo così potremo sperare di giungere poco alla volta a tentare di essere come loro, non semplicemente a tentare di imitarli, pervenendo così a godere, nell'interpretazione della loro musica, della loro stessa libertà creativa.
Armati dunque di pazienza, lettore coraggioso e masochista, e seguimi.

Nota. Come al solito, all'esposizione di quelle parti del testo che ci interessano si accompagneranno miei commenti, evidenziati chiaramente e distinti dal testo principale. I numeri di pagina indicati sono quelli originali dell'edizione 1561, che noi usiamo. I titoletti dei singoli capitoli, citati fra virgolette con i loro numeri, sono originali, mentre gli altri titoli e le suddivisioni per argomento (come "La musica in generale", "I fondamenti matematici della musica" ecc.) sono miei.

Prima parte

LA MUSICA IN GENERALE

Cap. 1. "Della origine et certezza della musica"

L'opinione secondo cui le basi matematiche della musica furono poste da Pitagora risale all'antichità greco-romana ed in particolare a Boezio (d'accordo con Macrobio e in disaccordo invece con Diodoro). Pitagora sarebbe stato il primo a trovare un collegamento fra gli intervalli prodotti dei suoni generati da martelli di peso diverso che percuotevano un incudine e la proporzione matematica generata dai loro pesi. Egli avrebbe poi controllato la teoria attaccando a corde di budello identiche i medesimi martelli e verificando che le corde così poste in trazione generavano intervalli identici a quelli prodotti dai martelli quando battevano sull'incudine.

[Ecco enunciata l'idea secondo cui l'oggetto della musica non sono "i suoni" e la musica non è, come si racconta nelle scuole, "l'arte dei suoni"; oggetto della musica non sono i suoni ma i rapporti (matematicamente esprimibili) fra i suoni. Più avanti si vedrà che l'idea stessa di scala musicale è tutta costruita su rapporti matematici. Z. esprime ciò dicendo che ciò che Pitagora scopre è la "ragione delle musicali proportioni" (pag. 3), dove "ragione" sta per il latino ratio, cioè appunto "rapporto, proporzione". Ecco perché lo studio della musica presuppone lo studio dei suoi fondamenti matematici.]

I FONDAMENTI MATEMATICI DELLA MUSICA

Cap. 13. "Delle varie specie de Numeri"

Cominciamo a familiarizzarci con tutta una serie di concetti e terminologie matematiche che, secondo Z., interessano il musico.
Il primo passo è un elenco di definizioni concernenti le varie specie di numeri. Diamo qui l'elenco con fra parentesi la spiegazione in termini moderni:
1. Pari
2. Impari (= dispari)
3. Parimente pari (= 2n con n › 0, cioè: 2, 4, 8, 16, 32 ecc.)
4. Primi & incomposti (= primi)
5. Composti (= non primi)
6. Contra se primi (= privi di divisore comune diverso dall'unità, ad esempio 9 e 10)
7. Tra loro composti o Communicanti (= contrario del precedente, ad esempio 4 e 6 oppure 6 e 9)
8. Quadrati
9. Cubi
10. Perfetti (il numero n si definisce perfetto se, essendo 1, d1, d2, ... dk i divisori di n, escluso n medesimo, si verifica che n = 1+d1+d2+... +dk; cioè il numero perfetto è uguale alla somma dei propri divisori, compresa l'unità ed escluso ovviamente se stesso. Ad esempio, 6 è perfetto perché è diviso da 1, da 2 e da 3, ed inoltre 6=1+2+3.).

[Un esempio per dare un'idea del linguaggio usato e del tipo di riduzione ad espressione moderna che abbiamo fatto con i concetti zarliniani: i numeri perfetti sono definiti come quelli "che sono integrati dalle loro parti […] conciosia che tolte le parti loro, & insieme aggiunte, rendono di punto il suo tutto" (pag. 23).]

Gli intervalli consonanti puri più comuni

È bene abituarsi fin d'ora a memorizzare i rapporti matematici che caratterizzano gli intervalli puri (pitagorici) più semplici e comuni compresi nell'ottava, ovvero quelli che Z. chiama "semplici & elementali" (pag. 23). Precisiamo che stiamo parlando di intervalli puri, non naturalmente di quegli intervalli (temperati) che caratterizzano tutte le accordature reali, antiche o moderne, che scaturiscono da compromessi che tolgono la purezza ad alcuni (o a tutti) gli intervalli naturali. Già che ci siamo, cominciamo subito a memorizzare anche la terminologia antica appropriata, sia degli intervalli, sia delle proporzioni matematiche che corrispondono agli intervalli medesimi.

Intervallo	nome antico dell'intervallo	proporzione corrispondente	nome antico della proporzione
ottava	diapason	2:1	dupla
quinta	diapente	3:2	sesquialtera
quarta	diatessaron	4:3	sesquiterza
terza maggiore	ditono	5:4	sesquiquarta
terza minore	semiditono	6:5	sesquiquinta

Queste sono le proporzioni matematiche che caratterizzano tutti gli intervalli consonanti che servono nella teoria musicale rinascimentale. È infatti chiaro che a partire da questi ogni altro intervallo consonante può essere costruito, ad esempio la sesta maggiore come somma di una quarta e di una terza maggiore, la dodicesima come somma di un'ottava e di una quinta e così via. L'impostazione teorica zarliniana, per la verità, vede gli intervalli non tanto come somma di altri intervalli, ma come ottenuti per divisione armonica di intervalli più grandi. Ad esempio, dall'ottava per divisione armonica si ottengono la quinta più la quarta, mentre dalla quinta per divisione armonica si ottengono la terza maggiore più la terza minore; tutti concetti che avremo agio di vedere bene più avanti.

[Avrete certamente notato perlomeno tre cose straordinarie: le proporzioni poste nella terza colonna della nostra tabella sono estremamente semplici e coinvolgono numeri molto piccoli (al massimo il 6); in secondo luogo, le proporzioni sono tutte del tipo n+1:n con n intero; in terzo luogo le proporzioni formano una serie continua, con n che cresce di un'unità man mano che si procede da intervalli più grandi ad intervalli più piccoli. Va detta subito una cosa: anche gli antichi naturalmente erano stati più che colpiti da queste tre circostanze e non le avevano assolutamente scambiate per coincidenze casuali. Nella prossima puntata e nelle successive vedremo tutta una serie di classificazioni e soprattutto di tecniche molto belle per manipolare e capire a fondo le proporzioni, che, è bene ribadirlo, erano considerate dagli antichi non semplicemente un modo (extramusicale, matematico) per descrivere i fenomeni della musica, ma l'essenza stessa del fenomeno musicale. La musica, per loro era essenzialmente costituita da una serie di proporzioni matematiche. Vedremo anche come tutto quest'apparato matematico sia assolutamente indispensabile per capire la struttura e la formazione dell'ottava, che è come dire il problema dell'accordatura.]