La costruzione dell'ottava a partire dai tetracordi, nel genere diatonico

Eccoci finalmente giunti all'uso dei tetracordi per la costruzione dell'ottava!
Se sovrapponiamo per una nota due tetracordi diatonici sintoni (che, come sappiamo, riproducono la successione di toni e semitoni propria delle successioni si-do-re-mi oppure, indifferentemente, mi-fa-sol-la), otteniamo lo schema seguente che, come è facile verificare, riproduce esattamente la successione di toni e semitoni che è propria della normale scala musicale costruita "sui tasti bianchi" da Si a La:

Per ottenere l'ottava completa da La a La, la teoria greca, così come la descrive Z., aggiungeva un La grave 'isolato' a distanza di un tono.
Per le ottave successive (la teoria greca aborriva però intervalli superiori alle due ottave), lo schema veniva ripetuto. Sicché, dopo i primi due tetracordi 'sovrapposti' della prima ottava (chiamati Hypaton e Meson) si aggiungeva un terzo tetracordo 'separato' dall'intervallo di tono La-Si (tetracordo Diezeugmenon che significa appunto 'separato', cioè non sovrapposto al precedente) seguito da un quarto tetracordo acuto (o Hyperboleon) sovrapposto al terzo.
La costruzione del Sibemolle avveniva invece iniziando un quinto tetracordo diatonico sintono (detto Synemennon) sul La centrale, ultima nota del secondo tetracordo, ed ottenendo perciò: La, Sibemolle, Do, Re. Questo quinto tetracordo coincideva per una nota (La) con il secondo tetracordo Meson e per due note (Do e Re) con il terzo tetracordo Diezeugmenon; restava come nota nuova il solo Sibemolle, che pertanto veniva aggiunto alla scala:

[Nota. Per andare un po' più a fondo dobbiamo svolgere alcune considerazioni un po' tecniche. In ogni ottava, i due tetracordi sovrapposti misurano esattamente una quarta pura e hanno esattamente la medesima struttura interna, essendo della stessa specie e genere. Possiamo dunque essere certi che tutte le quarte costruite sulle note comprese nei due tetracordi sovrapposti (cioè da un Si al La successivo) siano pure e quindi lo siano tutte le quinte di rivolto.

Questo ragionamento non fornisce invece alcuna garanzia per le quarte che comprendano il tono isolato, l'intervallo La-Si, cioè per le quarte Sol-do e La-re (si può dimostrare matematicamente - e la dimostrazione è lasciata al lettore per esercizio - che questo tono "isolato" La-Si può essere solo il tono sesquiottavo o tono maggiore, nella proporzione 9:8). È possibile dimostrare matematicamente (anche questa dimostrazione servirà al lettore come esercizio) che utilizzando il tetracordo diatonico sintono la quarta La-Re non può essere pura, mentre per fortuna non ci sono problemi con la quarta Sol-Do.

In realtà, solo usando il tetracordo Diatono entrambe queste quarte sarebbero pure, mentre con tutti gli altri tetracordi una di queste due quarte ha qualche problema, come mostra la tabella seguente:

tetracordo Molle	tetracordo Sintono	tetracordo Toniaco	tetracordo Equale
La-re stretta	La-re larga	Sol-do stretta	La-re larga

 

Perché allora non usare il tetracordo Diatono? Perché creerebbe più problemi di quanti ne risolva.
In effetti, è ben vero che fra le 5 specie di tetracordo diatonico solo il Diatono permette di costruire un'ottava diatonica (quindi non parliamo ancora di note alterate) in cui le quarte e le quinte di rivolto siano tutte pure (infatti, dato che in questa scala gli intervalli di tono sono tutti uguali al tono maggiore, la somma di qualunque coppia di toni e di un semitono dà lo stesso risultato dei tetracordi di partenza: una quarta pura). Se dunque lo scopo della scelta di un tetracordo fosse quello di massimizzare il numero di quarte e quinte pure, il Diatono, preferito secondo Z. dai Greci (Platone ed Aristotele), sarebbe il migliore.
Purtroppo, lo svantaggio è che in questa ed in tutte le altre specie di tetracordo escluso il Sintono le terze (e quindi le seste di rivolto) non potranno mai essere pure, il che per l'armonia rinascimentale è certamente un grave problema.

Se però si è disposti a rinunciare ad una sola quarta (La-Re, ed alla quinta di rivolto Re-La), il tetracordo diatonico Sintono fornirà anche quasi tutte le terze pure.
Una scala diatonica costruita col tetracordo diatonico sintono dunque avrà:

Questa situazione è possibile solo con questo tetracordo, a causa della sua struttura interna (si veda la sua descrizione matematica nel precedente n°11). Nessun altro tetracordo consente di salvare, oltre a quasi tutte le quarte, anche tutte le terze maggiori e quasi tutte le minori. Si tratta dunque di un eccellente compromesso fra le esigenze di avere quarte e quinte pure e nel contempo terze e seste altrettanto pure.
È dunque evidente l'estremo interesse del tetracordo Sintono per l'armonia rinascimentale, ed ecco perché Zarlino afferma che "questo è quello, che usano i Moderni nelle loro Harmonie" (cap. 16, pag. 83).]

Cominciamo ad avere un'idea delle spinose difficoltà implicate nella costruzione di una scala musicale efficiente. Già abbiamo visto che, se vogliamo intervalli di quarta, quinta, terza e sesta tutti puri, non c'è soluzione al problema. Abbiamo visto poi che la scelta del tetracordo diatonico sintono costituisce una discreta soluzione di compromesso, ma ci renderemo nelle prossime puntate che purtroppo anche questo tetracordo crea problemi quando si comincino ad introdurre le note dei 'tasti neri', già a cominciare dal Sibemolle costruito attraverso il tetracordo Synemennon. Si tratta del problema del comma, la cui soluzione dà luogo, come vedremo, ai cosiddetti temperamenti.
Prima però di addentrarci in queste considerazioni (e di sopportare le nuove inevitabili e già annunciate delusioni), ci occuperemo già dalla prossima puntata di capire a fondo la struttura matematica della scala costruita col tetracordo diatonico sintono.